جواب فعالیت صفحه 30 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 30 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت یک مقدمه مهم برای درک **تابع تانژانت** و رفتار آن، به خصوص در نزدیکی مجانب‌های عمودی است. تانژانت یک نسبت مهم در مثلثات است که رفتار متفاوتی نسبت به سینوس و کسینوس دارد. --- ### الف) رفتار $\tan \alpha$ در نزدیکی $\frac{\pi}{2}$ 🚀 همانطور که می‌دانید، تانژانت ($\tan \alpha$) در دایره مثلثاتی بر روی خطی که مماس بر دایره در نقطه $(1, 0)$ است (خط $x=1$)، تعریف می‌شود. $\tan \alpha$ ارتفاع نقطه تقاطع شعاع زاویه $\alpha$ با این خط مماس است. **تعریف تانژانت:** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ وقتی زاویه $\alpha$ در ربع اول افزایش می‌یابد و به $\frac{\pi}{2}$ (یا $90^\circ$) نزدیک می‌شود: 1. مقدار $\sin \alpha$ به **1** نزدیک می‌شود. 2. مقدار $\cos \alpha$ به **صفر (از سمت مثبت)** نزدیک می‌شود. در نتیجه، تانژانت به صورت یک عدد نزدیک به 1 تقسیم بر یک عدد بسیار کوچک و مثبت خواهد بود. یعنی: $$\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^-} \tan \alpha = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ **پاسخ الف:** با افزایش مداوم زاویه $\alpha$ و نزدیک شدن آن به $\frac{\pi}{2}$، مقدار تانژانت **بدون حد و مرز** افزایش می‌یابد و به **مثبت بی‌نهایت ($+\infty$)** میل می‌کند. --- ### ب) یافتن زاویه $\alpha$ که $\tan \alpha = a$ 🧭 **فرض مسئله:** عدد حقیقی و مثبت $a$ داده شده است. از آنجایی که در ربع اول دایره مثلثاتی (بازه $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$)، مقدار تانژانت از **صفر تا $+\infty$** متغیر است (همانطور که در بخش الف دیدیم)، و چون تابع تانژانت در این بازه **پیوسته و اکیداً صعودی** است، حتماً یک زاویه $\alpha$ منحصر به فرد در این بازه وجود دارد که $\tan \alpha$ دقیقاً برابر با $a$ شود. **روش یافتن $\alpha$:** 1. **روش نموداری (دایره مثلثاتی):** * بر روی خط تانژانت (مماس بر دایره در نقطه $(1, 0)$)، نقطه‌ای با ارتفاع **$a$** مشخص می‌کنیم. * این نقطه را به **مبدأ** دایره $(0, 0)$ وصل می‌کنیم. * شعاع حاصل، دایره مثلثاتی را در یک نقطه **$P$** قطع می‌کند. * زاویه‌ای که این شعاع با محور افقی (محور $\cos$) می‌سازد، همان زاویه **$\alpha$** مورد نظر ما در ربع اول است. 2. **روش تحلیلی (استفاده از $\arctan$):** * اگر $\tan \alpha = a$ باشد، می‌توانیم زاویه $\alpha$ را با استفاده از تابع معکوس تانژانت (آرکتانژانت) پیدا کنیم. * $$\alpha = \arctan(a)$$ * با توجه به اینکه $a$ یک عدد مثبت است، مقدار $\arctan(a)$ زاویه‌ای در بازه $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ (ربع اول) خواهد بود که همان زاویه $\alpha$ مورد نظر ماست. **پاسخ ب:** چون دامنه تابع $\tan \alpha$ در ربع اول $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$، بازه $(0, +\infty)$ است، به ازای هر عدد حقیقی مثبت $a$، همواره می‌توان با استفاده از تابع معکوس $\alpha = \arctan(a)$، یک زاویه منحصر به فرد $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ پیدا کرد که **$\tan \alpha = a$** باشد.